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 “尾部形状”

尾部形状是一个很复杂的问题，由图4－7a中大于45海里的偏航数据可知，这部分的数据太少，几乎接近为0。如果按照这种数据计算，则计算出来的侧向重叠概率 就会偏小，从而影响到碰撞危险次数 也会偏小，这样对空域安全性的评估就不够充分。为了尽量使 较准确，必须对现有的数据进行“放大”，但是又不至于太大而造成理论上过大的碰撞危险，则需要采取一个合理的方法对“尾部形状”进行处理。

因为由图4－7 a中可看出，随着侧向偏航误差的增大，误差次数的比例也在减小，但是减小的幅度却很难确定。北大西洋规划小组认为应对尾部同时估计一个上限曲线和一个下限曲线，然后在两者之间插值来最终评估 。如果尾部曲线以类似负指数倍数下降，则这种误差分布的概率密度曲线就较为乐观，因此被定为下限。本文采用多项式函数拟合的方法（见Matlab简介一节）对原有的数据进行了处理。如果尾部曲线呈水平形状，则较为悲观，因此定为上限。

插值有许多方法，现采用式（4.23）作为插值的一个基本方法。

 ＝r ＋（1－r）                      （4.23）

 

图4－8  和 概率密度曲线

 和 概率密度曲线见图4－8，上式中 代表侧向偏航误差大于45海里的概率密度曲线,  代表对其尾部采用的水平线代替原来的概率密度曲线，因为真正的概率密度曲线是不可能为常数的，这样该曲线以下部分的积分面积就趋于无穷大而不为1。 代表尾部曲线沿所拟合的多项式函数下降的概率密度曲线；r为在0－1间服从均匀分布的随机变量。

 

图4－9  2次和4次多项式拟合函数

由图4－9可知，图4-8采取的3次多项式函数拟合效果最好。

多项式拟合函数的形式为 系数 在Matlab中的运行结果为：

p =1.0e+003 *[-0.0000    0.0007   -0.0854    3.4005]

可从图4-8中读出 在各个点的数值，因为观测到的偏航飞机数一定为整数，因此本文对运行结果做了四舍五入的处理。拟合数据见表1：

侧向偏航距离

（海里） 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

拟合结果(架) 675 541 427 331 251 186 134 93 63 42

100 105 110 115 120

28 19 15 13 12

表1 拟合数据

根据式（4.23），依据Monte Carlo方法，对r在0－1中任意取值，可相应得到 在这几个点处的随机曲线：

 

图4－10  随机插值曲线

图4－10为运行结果中任意4条插值曲线，运行次数可以设定为1000次或10000次。但是将这么多的曲线都代入计算 的式子进行研究是不可能的，因此需要求出随机插值曲线中数学期望值曲线。由概率论知识将式（4.23）求其数学期望，因为 和 在每一点的值是确定的，因此变量只有r一个，且在（0，1）区间上服从均匀分布， 。

 ＝r ＋（1－r） 

      =[ - ]r+ 

E( )=[ - ]E(r)+  （4.24）

由式（4.24）得到的插值曲线见图4－8，插值曲线的方程为：

  =                              （4.25）

假设相邻航线上的飞机都具有相同的误差分布，并且每架飞机偏离航线飞行的误差都相互独立，则两架飞机同时偏航的联合概率密度为：

                                          （4.26）

     图4-11为飞机A和B 沿航线飞行时侧向偏航的概率密度函数，X和Y分别表示飞机A和B偏航的距离，箭头方向代表飞机向左或是向右偏航，设两架飞机相距d海里。

 

图4－11 飞机A和B的侧向偏航概率密度函数