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本讲义的第一篇属于第一种研究方向，从研究飞机在空中飞行时的位置误差入手，分别分析那些因素对飞行在空中的飞行位置会产生影响，以及影响的程度。而本篇主要是从第二个研究方向入手，对飞行在航路上的飞机在其周围进行碰撞危险区的建模，主要采用在国外间隔标准安全评估工作中一直使用的REICH碰撞危险模型进行研究，并根据图1－2对模型中的主要参数进行取值或给出频率分布。因为取值过程较为复杂，一些参数都是服从一定的概率分布的，因此要想对最终的空域碰撞危险进行预测，就只能通过随机采样取值的Monte Carlo方法对这些参数在其分布范围内随机取值，并最终给出总碰撞危险的分布范围。

利用碰撞危险模型不仅可以对现行间隔标准进行安全性评估，对将要实施修改的间隔标准进行预测性安全评估，还可以在已知需要达到的安全目标等级情况下，计算出目前条件下可实现的最小间隔标准，以减少空域资源的浪费，减轻空域交通拥挤，图1－3反映了这个过程。

图1－3 碰撞危险模型在确定最小间隔标准上的实际应用

本篇的第二章将对研究过程中使用的方法和数学计算有关知识进行介绍，第三章将对碰撞危险的有关知识进行介绍，从第四章开始将分别对侧向、垂直方向和纵向的碰撞危险的计算进行分别讨论，由于在讨论纵向碰撞危险时缺乏数据，因此将它和三个方向上的总碰撞危险以及图1－3中“安全目标等级”模块和“确定最小间隔标准”模块放在一起在第六章里进行介绍。

本篇内容只是对间隔标准的安全评估提供一个行之有效的框架结构，一些方法还尚未完善，在今后的评估过程中还需要研究人员对大量的数据进行分析和处理，以保证评估结果的精确可靠。

第二章 数学与计算的有关知识

2.1  有关的概率论知识

在许多问题的研究中，经常会碰到研究一个随机变量所取的值落在一个区间的概率： ,但由于 ＝ - ,所以只需知道 和 就可以了。

设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(X)=  称为X的分布函数。对于随机变量X的的分布函数F(X)，存在非负函数 ，使对于任意实数x有：F(X)= ，则称x为随机型变量，其中 称为x的概率密度函数。

由定义可知，概率密度函数具有以下性质：

1. f（x） 0

2. ＝1

3. x落在区间（x1，x2）的概率等于该区间上曲线y＝f（x）之下的面积。

在本课题中将要讨论的很多变量例如在不同偏航距离下的偏航飞机数、相邻航线上飞机的侧向相对速度 以及飞机在空中飞行的相对地速 的概率密度函数的形式都如下所示：

f（x）＝     

其中 为常数，并称服从这样概率密度的X服从正态分布或高斯分布，记为 ,概率密度函数如左图所示。当已知某变量服从正态分布或根据所采集的数据进行拟合后是服从正态分布时，就可根据左图所表示的关系算出 。

本课题中还要用到的分布就是Poisson分布，它主要涉及到进行n次重复试验，观察到某种结果k次的概率的计算。比如说，进行10组试验，每次都扔8次硬币，那么理论上每组试验观察到正反面的比例都应该是50％，但是实际上每组观察到的结果都可能不尽相同。

设进行n次独立试验，每次观察到某一结果的概率为  ，则最终观测到k次这样的结果的概率为：

  

其中 >0是一个常数， ，n趋于无穷大。那么在本课题中k就对应着观测到较大误差的次数 ， 就对应着理论上应观测到的次数值 。

 在对相邻航线飞机间丢失侧向间隔的概率 进行计算时，就涉及到相邻航线上每架飞机丢失一定间隔的概率，这在概率论中是一个二维随机变量的问题，即对于某些随机试验的结果需要同时用两个随机变量来描述。与一维随机变量相似，对于二维随机变量（X,Y）的分布函数F(X,Y)，也存在非负的函数 ，使对于任意x，y有

F(X,Y)＝                                       

函数 是变量（X,Y）的联合概率密度。当随机变量X,Y的发生相互独立时， =f(x)*f(y)。在本课题中x，y分别代表两架飞机偏航的距离，因此要使这两架飞机不相撞，就必须满足 。则计算 就转换为计算 。

概率论中“数学期望”又称均值，定义为 ，当不需知道变量的全部变化而只需知道的平均值时，就需要求该变量的数学期望。在本课题中，当对 的概率密度曲线尾部进行插值后，得到了许多条插值曲线，这时就需要对该部分函数 ＝r ＋（1－r） 求数学期望，并且满足以下性质：

1. E(C)=C,其中C是常数。

2. E(CX)=CE(X)

3. E(X+Y)=E(X)+E(Y)

在本论文的大量计算中，用到了高等数学中的分部积分公式,即：

 

本篇中推导纵向间隔标准碰撞危险评估算式时，由于考虑到通信和管制员干预缓冲区的概念，则纵向的碰撞危险就不仅仅包括由于导航误差而导致的实际位置与理论位置不符而带来的危险，还应该包括由于飞行员和管制员进行通讯时所占用的时间而带来的碰撞危险，总碰撞危险应是这两者之和，这就涉及到概率论中两个随机变量的函数分布的概念。

记Z=X+Y,（X,Y）的概率密度为f（x，y）则Z=X+Y的分布函数为：

 

在X和Y相互独立时，上式中的f（x，y）可表示为：

 

以上公式称为卷积公式。

2.2  MONTE CARLO方法

早在17世纪，人们就把频率作为概率的近似值。如果概率计算发生困难或错误，人们就可以通过随机试验来得到频率并用它解决问题。然而在当时随机试验却受到一定的限制，因为要使计算结果的准确度足够高，就需要进行的试验次数相当大，因此这种冗长的人工计算在当时是被认为不可能的。