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2) 是两架飞机之间垂直距离的平均值，假设一架飞机的高度误差的方差为一个常量，若 增大，则图5－1中的整条曲线就向右平移，明显的，在其他参数没有改变的情况下，该密度函数在 附近的取值就会减小，则表示两机发生危险概率的阴影区面积就会减小，也就是两机之间发生危险的可能性就减小了。从公式上来说，如果 很小的话， 就近似于：

  （5.7）

其中，

 

因此，

  （5.8）

对 求导，得：

  （5.9）

 

图5－2 两机之间垂直距离概率密度函数随均方差的改变

概率 的斜率为负，表示 随着 的增大而减小。从语言上描述 增大也就是两架飞机各自所使用的高度层之间的高度差增大了，从飞行的实际情况来看，飞机之间在垂直方向上发生冲突的概率自然也会随之而减小的。

3) 下面再看看 对概率 的影响，设 是固定的。从实际上看似乎飞机上所装备的气压高度表越精确，也就是 越小，飞机之间发生危险情况的可能性就会越小，然而从图5－2就可以发现，当 为固定值时，减小 ，飞机之间发生危险情况的可能性并不一定就减小，下面就从数学公式上来做一下讨论。

对于一个给定的 ， 是在 处的一部分面积，当 比较小的时候就有：

 

 

在该式中对 求导，得：

                （5.10）

令 可以知道该密度函数在 处相对于变量 的斜率值。

当 时， 为非负； 当 时， 为负。

这就表明了如下的结论：当 取一定值的时候，如果 ， 会随着 的减小而减小，而当 时， 会随着 的增大而减小, 其中 。这就是说，至少从理论上讲，在某些情况下，测量高度的方法越精确反而会导致更大的危险概率。

5.4 考虑到飞机上升及下降后飞机之间垂直距离的数学模型

以上讨论了飞机在空中飞行时，在垂直方向上距离的最基本的数学模型，其中没有对飞机在垂直方向上有机动动作的情况进行考虑，如果考虑得比较全面一点，考虑飞机爬升下降的情况，则此时飞机之间在垂直方向上的距离的平均值就不再是一个固定的值,而是一个随时间改变的分段随机函数了，假设飞机原来的高度分别为 ，各自开始改变高度的时间为 ，其爬升下降率分别为 ，改变高度的目的高度为 ， ，具体的判断方法是：

A． 先判断两架飞机中的哪一架先开始爬升下降的，

B． 当时间小于第一架改变高度的飞机（令这架飞机为飞机1）爬升下降的时间的时候，两架飞机都还在保持平飞状态，他们之间的垂直距离的平均值依然是：

  （5.11）

C． 当时间大于第一架改变高度的飞机爬升下降的时间的时候，两架飞机有可能为如下六种可能的状态，他们之间的垂直距离分别为：

a． 飞机1在改变高度，飞机2在原高度上平飞，垂直距离为：

  （5.12）

b． 飞机1在改变高度，飞机2也在改变高度，垂直距离为：

  （5.13）

c． 飞机1在改变高度，飞机2改变高度完毕，在目的高度上平飞，垂直距离为：

  （5.14）

d． 飞机1改变高度完毕，飞机2在原高度上平飞，垂直距离为：

  （5.15）

e． 飞机1改变高度完毕，飞机2在改变高度，垂直距离为：

  （5.16）

f． 飞机1改变高度完毕，飞机2改变高度完毕，垂直距离为：

  （5.17）

值得注意的是，从以上给出的算式中可以看出，飞机的爬升下降率应该是有符号的，但是这里的符号并不是那么简单的爬升为正下降为负了，而是根据两架飞机之间的垂直距离的改变情况来定的，若飞机改变高度的方向会令两机之间的垂直距离减小的话其爬升下降率取正，反之，若飞机改变高度的方向会令两机之间的垂直距离增大的话则其爬升下降率取负，具体说来就是指在比较低高度飞行的飞机上升高度的话，其爬升率取正值，下降高度的话则取负值；反之，在较高高度上飞行的飞机上升高度的话，其爬升率取负值，下降高度的话则取正值。这一点在对相应的仿真计算程序作数据输入的时候要特别注意。